(1) $b, c\in \R$ の場合に $b = c$ であることを示します。極限の定義より任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対してある正実数 $\delta > 0$ が存在し、$\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $|f(x) - b|, |f(x) - c| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ となりますが、$a\in \overline{A}$ より実際にそのような点を取ることで $|b - c| < \varepsilon$ が従います。よって、$\varepsilon$ 任意より $b = c$ です。

あとは $b\in \R$ のときに $c = \pm\infty$ とはなりえないことは、および、$b = \pm\infty$ のときに $b = c$ であることを示せばよいですが、それは容易です。

(2) 明らか。

(3) $b\in \R$ の場合のみ示します。$b = \pm\infty$ の場合も同様に証明されます。正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。$f$ についての極限が $b$ であることから、正実数 $\delta > 0$ であって $\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $|f(x) - b| < \varepsilon$ を満たすものが存在します。必要であれば $\delta < r$ となるように小さく取り直せば、その $\delta$ について $\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $|g(x) - b| = |f(x) - b| < \varepsilon$ が成立します。よって、$\underset{x\to a}{\lim}g(x) = b$ です。

$b\in \R$ の場合のみ示します。

(1) ⇒ (2) 正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。(1)からある正実数 $\delta > 0$ が存在し、$\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $|f(x) - b| < \varepsilon$ が成立します。つまり、任意の $x\in A\cap O_{\delta}(a)$ に対して $f(x)\in (b - \varepsilon, b + \varepsilon)$ であり、$A\cap O_{\delta}(a)\subset f^{-1}((b - \varepsilon, b + \varepsilon))$ が成立します。

(2) ⇒ (3) $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を $A$ の点列であって点 $a\in \overline{A}$ に収束するものとし、正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。(2)よりある正実数 $\delta > 0$ が存在して $A\cap O_{\delta}(a)\subset f^{-1}((b - \varepsilon, b + \varepsilon))$ が成立します。この $\delta$ に対して非負整数 $N$ であって $n > N$ ならば $x_{n}\in A\cap O_{\delta}(a)$ となるものを取れば、$n > N$ に対して $f(x_{n})\in (b - \varepsilon, b + \varepsilon) \ (\Leftrightarrow |f(x_{n}) - b| < \varepsilon)$ です。よって、$\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_{n}) = b$ です。

(3) ⇒ (1) 対偶を示します。極限 $\underset{x\to a}{\lim}f(x) = b$ は成立していないとします。このとき、ある正実数 $\varepsilon > 0$ が存在し、任意の正実数 $\delta > 0$ に対して $\|x - a\| < \delta$ かつ $|f(x) - b|\geq \varepsilon$ となる $x\in A$ が存在します。各正整数 $n\in \N_{+}$ に対して $\delta = n^{-1}$ としてそのような $x_{n}$ を取るとすれば点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N_{+}}$ は $a\in \overline{A}$ に収束し、常に $|f(x_{n}) - b|\geq \varepsilon$ を満たします。よって、この数列に対して $\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_{n}) = b$ は成立しません。

(1) 容易です。

(2) $a\in \overline{A}$ に収束する点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を取ります。命題1.8.4より $\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_{n}) = b$, $\underset{n\to\infty}{\lim}g(x_{n}) = c$ であり、$b + c$ が定義されていることから和と極限の可換性 $($命題1.5.16$)$ を用いて\[\lim_{n\to\infty}(f + g)(x_{n}) = \lim_{n\to\infty}f(x_{n}) + \lim_{n\to\infty}g(x_{n}) = b + c\]です。再び命題1.8.4より $\underset{x\to a}{\lim}(f + g)(x) = b + c$ です。

(3) (2)と同じです。

(4) (3)より $f\equiv 1$ の場合に示せばよいですが、これも(2)と同様にして分かります。

(a) $a\in \R$ を取り、この点における $f$ の連続性を示します。正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。正実数 $\delta > 0$ を $\alpha\neq 0$ ならば $\delta := \varepsilon\cdot |\alpha|^{-1}$ と定め、$\alpha = 0$ ならば $\delta := 1$ と定めます。このとき、任意の $x\in \R$ に対して $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| = |\alpha(x - a)| < \varepsilon$ です。よって、$f$ は $a$ において連続です。

(b) 常識的な事実ですが、まだ導入していない関数たちなので省略。そして、それぞれ導入するときには連続性くらいのことは自明になっているはずです。

(c) 一般に $\R$ 上で定義された関数 $f(x)$ が $x = a$ において不連続性であることを示すには、極限 $\underset{x\to a}{\lim}f(x)$ が存在することの対偶として、ある正実数 $\varepsilon > 0$ が存在し、任意の正実数 $\delta > 0$ に対してある $x\in \R$ が存在して $|x - a| < \delta$ かつ $|f(x) - f(a)|\geq \varepsilon$ となることを示せばよいです。

$\varepsilon := 1/2$ とし、任意に正実数 $\delta > 0$ を取ります。$x = -\delta/2$ に対して $|x - 0| < \delta$ かつ $|f(x) - f(0)| = 1\geq \varepsilon$ です。よって、$x = 0$ において不連続です。

(d) $\varepsilon := 1/3$ とし、任意に正実数 $\delta > 0$ を取ります。$x = y = \delta/2\sqrt{2}$ に対して $\|(x, y) - (0, 0)\| < \delta$ かつ $|f(x, y) - f(0, 0)| = 1/2\geq \varepsilon$ です。よって、$(x, y) = (0, 0)$ において不連続です。

$a\in \Q$ において不連続なことは、$a$ のいくらでも近くに無理数 $x$ が存在して $|f(x) - f(a)| = 1$ となることから分かります。$a\in \R\setminus \Q$ において不連続なことも同様です。

$a\in \Q$ において不連続なことは、$a$ のいくらでも近くに無理数 $x$ が存在して $|f(x) - f(a)| = |f(a)| > 0$ となることから分かります。$a\in \R\setminus \Q$ において連続なことを示します。任意に正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。正整数 $n\in \Np$ を $\tfrac{1}{n} < \varepsilon$ に取ります。$\delta := \min \{|a - \tfrac{k}{n!}|\mid k\in \Z\}$ と定めます。$\delta > 0$ です。任意の $x\in \R$ に対して $|x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - f(a)| = |f(x)| < \tfrac{1}{n} < \varepsilon$ です$x$ は整数 $k$ を用いて $y = k/n!$ と表すことはできないので、特に、どの $1\leq m\leq n$ に対しても整数 $l$ を用いて $x = l/m$ と表すことはできません。ここで $f$ の定義を見れば $f(x) < 1/n$ が分かります。。よって、$f$ は $a$ において連続です。

(1) ⇒ (2) $V$ を $\R$ の開集合とします。各点 $a\in f^{-1}(V)$ に対して $(f(a) - \varepsilon_{a}, f(a) + \varepsilon_{a})\subset V$ となる正実数 $\varepsilon_{a} > 0$ を固定し、この $\varepsilon_{a}$ に対して正整数 $\delta_{a} > 0$ であって $x\in A\cap O_{\delta_{a}}(a)$ ならば $|f(x) - f(a)| < \varepsilon_{a}$ となるものを取ります。このとき、各 $a\in f^{-1}(V)$ に対して $A\cap O_{\delta_{a}}(a)\subset f^{-1}(V)$ なので\[A\cap\left(\bigcup_{a\in f^{-1}(V)}O_{\delta_{a}}(a)\right) = \bigcup_{a\in f^{-1}(V)}(A\cup O_{\delta_{a}}(a))\subset f^{-1}(V)\]が従い、明らかに逆の包含関係も成立するので $A\cap\left(\bigcup_{a\in f^{-1}(V)}O_{\delta_{a}}(a)\right) = f^{-1}(V)$ です。よって、$U := \bigcup_{a\in f^{-1}(V)}O_{\delta_{a}}(a)$ が欲しかった開集合です。

(2) ⇒ (3) $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ を $A$ の点列であってある点 $a\in A$ に収束するものとします。正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。仮定よりあるある開集合 $U$ が存在して $A\cap U = f^{-1}((f(a) - \varepsilon, f(a) + \varepsilon))$ が成立します。$O_{\delta}(a)\subset U$ となるような正実数 $\delta > 0$ を固定します。この $\delta$ に対して非負整数 $N$ であって $n > N$ ならば $x_{n}\in A\cap O_{\delta}(a)$ となるものを取れば、$n > N$ において $f(x_{n})\in (f(a) - \varepsilon, f(a) + \varepsilon)$ です。よって、$\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_{n}) = f(a)$ です。

(3) ⇒ (1) $a\in A$ を固定します。$a$ に収束する任意の $A$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in\N}$ に対して仮定より極限 $\underset{n\to\infty}{\lim}f(x_{n}) = f(a)$ が成立するので、命題1.8.4より $f$ は $a$ において連続です。$a\in A$ は任意なので $f$ は連続です。

命題1.8.5より明らかです。例えば(2)について示すとすれば、連続関数 $f, g\in C(A)$ を固定したとき、任意の $a\in A$ に対して極限 $\underset{x\to a}{\lim}f(x) = f(a)$, $\underset{x\to a}{\lim}g(x) = g(a)$ が成立するので命題1.8.5より $\underset{x\to a}{\lim}(f + g)(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a)$ が成立し、$f + g$ は連続と分かります。

定理1.7.30より $K$ は有界閉集合として示せばよいです。また、最大値についてのみ示します。最小値でも一緒です。

$s = \sup f(K)$ とします。まずは $s\neq +\infty$ を背理法より示します。$s = +\infty$ とします。このとき、$K$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in \N}$ であって常に $f(x_{n}) > n$ となるものを取ることができ、$K$ が有界なのでBolzano–Weierstrassの定理 $($定理1.7.13$)$ を用いてある点 $a\in \R^{m}$ に収束する部分列 $\{x_{n_{k}}\}_{k\in \N}$ が取れます。$K$ が閉集合なので $a\in K$ であり、$f$ の連続性から $\underset{k\to\infty}{\lim}f(x_{n_{k}}) = f(a)\in \R$ が成立しますが、これは点列の構成から $\underset{k\to\infty}{\lim}f(x_{n_{k}}) = +\infty$ であることに矛盾です。よって、$s = \sup f(K)\in \R$ です。

よって、$K$ の点列 $\{x_{n}\}_{n\in \N_{+}}$ であって常に $s - n^{-1} < f(x_{n})\leq s$ を満たすものを取ることができます。その部分列であってある点 $a$ に収束するもの $\{x_{n_{k}}\}_{k\in\N}$ を取れば $f$ の連続性より $s = \underset{k\to\infty}{\lim}f(x_{n_{k}}) = f(a)$ です。よって、$f(K)$ の上限に一致する値を取る点 $a$ が得られ、つまり、この $a$ において $f$ は最大値を取ります。

$f(a) < f(b)$ として $[f(a), f(b)]\subset f(A)$ を示せばよいです。ある $f(a) < d < f(b)$ であって $d\notin f(A)$ となるものが存在したとします。開集合 $U, V$ を $A\cap U = f^{-1}((-\infty, d))$, $A\cap V = f^{-1}((d, +\infty))$ であるように取ります。このとき、$a\in U$, $b\in V$ であり $A\cap U\neq \varnothing$, $A\cap V\neq \varnothing$ です。また、$A\cap U\cap V = \varnothing$ も明らかです。そして、$f^{-1}(d) = \varnothing$ なので $A\subset f^{-1}(\R\setminus \{d\})\subset U\cup V$ です。これは $A$ が連結であることに矛盾します。よって、$[f(a), f(b)]\subset f(A)$ です。

(1) 区間は連結です $($補題1.7.32$)$。よって、任意の $c\leq d\in \Img f$ に対して $c = f(a)$, $d = f(b)$ をとなる $a, b\in J$ を取ることができ、中間値の定理 $($定理1.8.28$)$ より $[c, d] = [f(a), f(b)]\subset \Img f$ です。よって、補題1.7.32より $J$ は区間です。

(2) 有界閉区間は空でないコンパクト集合なので定理1.8.26より $f$ には最小値 $a$ と最大値 $b$ が存在し、$\Img f = [a, b]$ です。これは有界閉区間です。

命題1.8.4と全く同じです。

命題1.8.16と全く同じです。

(1) ⇒ (2) 正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。仮定よりある正実数 $\delta > 0$ であって $\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $\|f(x) - b\| < \varepsilon$ が成立するものが取れます。第 $k$ 成分について、$\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $|f_{k}(x) - b_{k}| < \|f(x) - b\| < \varepsilon$ なので $\underset{x\to a}{\lim}f_{k}(x) = b_{k}$ が成立します。

(2) ⇒ (1) 正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。仮定よりある正実数 $\delta > 0$ であって $\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して\[|f_{k}(x) - b_{k}| < \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \ (1\leq {}^{\forall}k\leq m)\]となるものが取れます。このとき、$\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して\[\|f(x) - b\| = \left(\sum_{k = 1}^{m}(f_{k}(x) - b)^{2}\right)^{1/2} < \varepsilon\]であり、$\underset{x\to a}{\lim}f(x) = b$ が成立します。

命題1.8.31より、次の同値性を示せばよいです。

しかし、これは $\R^{l}$ の点列の収束性及び収束値を成分ごとに考えてもよかったこと $($命題1.7.11$)$ から明らかです。$($最初の証明でした議論は、実は既にしたことでした。$)$

$A$ の各点で命題1.8.33を適用すればよいです。

$a\in A$ とし、正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。$g$ の $f(a)\in B$ における連続性より、正実数 $\delta' > 0$ であって $\|y - f(a)\| < \delta'$ を満たす任意の $y\in B$ に対して $\|g(y) - g(f(a))\| < \varepsilon$ となるものが取れます。この $\delta'$ に対して $f$ の $a\in A$ における連続性から、ある正実数 $\delta > 0$ であって $\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ に対して $\|f(x) - f(a)\| < \delta'$ となるものが取れます。この $\delta$ に対して $\|x - a\| < \delta$ を満たす任意の $x\in A$ は $\|f(x) - f(a)\| < \delta'$ と $f(x)\in B$ を満たすので $\|g\circ f(x) - g\circ f(a)\| < \varepsilon$ を満たします。よって、$g\circ f$ は連続です。

$W\subset \R^{l}$ を開集合とし、開集合 $U\subset \R^{n}$ であって $A\cap U = (g\circ f)^{-1}(W)$ となるものを構成すればよいです。まず、$g$ の連続性から $\R^{m}$ の開集合 $V$ であって $B\cap V = g^{-1}(W)$ となるものが取れます。また、$f$ の連続性から $\R^{n}$ の開集合 $U$ であって $A\cap U = f^{-1}(V)$ となるものが取れます。このとき、\[(g\circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W)) = f^{-1}(B\cap V) = f^{-1}(V) = A\cap U\]です。

各点 $a\in \R^{m}$ での連続性を確かめます。正実数 $\varepsilon > 0$ を取ります。正実数 $\delta := \varepsilon$ について $\|x - a\| < \delta\Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon$ が成立することを示せば十分です。$\|x - a\| < \delta$ とします。任意の $y\in A$ に対して $\|x - y\| < \|x - a\| + \|a - y\|$ であることから $\{\|x - y\|\mid y\in A\}$ の下界が $\{\|x - a\| + \|a - y\|\mid y\in \R\}$ の下界でもあることに注意して\[f(x) = d(x, A) = \inf\{\|x - y\|\mid y\in A\}\leq \|x - a\| + d(a, A)\leq \|x - a\| + f(a)\]であり、また、$\|a - y\| - \|x - a\|\leq \|x - y\|$ であることから同様に\[f(a) - \|x - a\| = d(a, A) - \|x - a\|\leq \inf\{\|x - y\|\mid y\in A\} = d(x, A) = f(x)\]です。以上より $\|x - a\| < \delta$ となる $x$ に対して\[|f(x) - f(a)|\leq \|x - a\| < \delta = \varepsilon\]であり、$f$ は $a$ において連続です。つまり、$f$ は連続です。

定義から容易に分かるように、$f(x, A) = 0$ であることと任意の正実数 $\varepsilon > 0$ に対して $\|x - y\| < \varepsilon$ となる $y\in A$ が存在すること、つまり、$x$ が $A$ の触点であることとは同値なので、$f^{-1}(0) = \overline{A}$ です。

$f$ の連続性が分かったので、$O_{r}(A) = f^{-1}((-\infty, r))$ は開集合であるし、$D_{r}(A) = f^{-1}((-\infty, r])$ は閉集合です。

$A, K$ の一方でも空集合である場合は自明なので、$A, K\neq \varnothing$ とします。連続写像 $f : \R^{m}\to \R : x\mapsto d(x, A)$ を考えます。$f$ の連続性から $f|_{K}$ はある点 $k\in K$ において最小値 $l$ を取ります。$l = d(k, A) = 0$ とすると $k\in \overline{A}\cap K = A\cap K$ となって矛盾するので $l > 0$ です。また、$d(A, K) = l$ が容易に分かります。そこで、$U, V$ をそれぞれ $A, K$ の $l/3$ 開近傍に取れば主張の条件を満たす開集合系になります。$A\subset U$ と $K\subset V$ は明らかです。$U\cap V = \varnothing$ を示します。$x\in U$, $y\in V$ とします。$a\in A$ と $k\in K$ をそれぞれ $\|x - a\|, \|y - k\| < l/3$ となるように取るとき$d(x, A) < l/3$ なので、$a\in A$ であって $d(x, A)\leq d(x, a) < l/3$ を満たすものが存在します。$k$ についても同じです、\[0 < l/3 = l - (l/3 + l/3)\leq \|a - k\| - (\|x - a\| + \|y - k\|)\leq \|x - y\|\]です。よって、常に $x\neq y$ なので $U\cap V = \varnothing$ です。

各正整数 $n\in \N_{+}$ に対して $A_{n} := A\cap D_{n}$, $B_{n} := B\cap D_{n}$ と定め、系1.8.39により正実数\[r_{n} := \min\{d(A_{n}, B), d(A, B_{n}), 1\}\]を取ります$1$ を加えたのは $A_{n} = B_{n} = \varnothing$ の場合に $r_{n} = +\infty$ となるのを防ぐため。。$A_{n}$ の $r_{n}/3$ 開近傍を $U_{n}$ とし、$B_{n}$ の $r_{n}/3$ 開近傍を $V_{n}$ とします。$U := \bigcup_{n\in \N_{+}}U_{n}$ と $V := \bigcup_{n\in \N_{+}}V_{n}$ が $A, B$ を分離する開集合であること、つまり、$A\subset U$, $B\subset V$, $U\cap V = \varnothing$ を満たすことを示します。

$A\subset U$, $B\subset V$ であることは明らかなので、$U\cap V = \varnothing$ を示せばよいですが、そのためには任意の $k, l\in \N_{+}$ に対して $U_{k}\cap V_{l} = \varnothing$ を示せば十分です。対称性から $k\leq l$ として問題ないです。$x\in U_{k}$, $y\in V_{l}$ とします。$a\in A_{k}$ を $\|x - a\| < r_{k}/3$ となるように取り、$b\in B_{l}$ を $\|y - b\| < r_{l}/3$ となるように取ります。このとき、\[0 < r_{k}/3\leq r_{k} - (r_{k}/3 + r_{l}/3)\leq \|a - b\| - (\|x - a\| + \|y - b\|)\leq \|x - y\|\]であり$A_{n}, B_{n}$ が単調に大きくなっていくことから $r_{n}$ が広義単調減少であり、$k\leq l$ から $r_{k}\geq r_{l}$ です。$\|a - b\|\geq r_{k}$ は $a\in A_{k}$, $b\in B$ と思えば $r_{k}$ の定義から分かります。、常に $x\neq y$ なので $U_{k}\cap V_{l} = \varnothing$ です。